2 - Ajustement du calcul de risque : probabilités bayesiennes

Décrit au 18è siècle par le révérend Thomas Bayes sous le nom de théorie des probabilités (doctrine of chances), le théorème qui porte son nom est utilisé pour affiner l’estimation d’une probabilité à partir d’observations et des probabilités de ces observations. Ces « observations » peuvent être des données tirées de l’arbre généalogique, des connaissances sur l’histoire naturelle de la maladie (pénétrance liée à l’âge) ou des résultats d’examens biologiques, notamment de génétique moléculaire.
Il est largement utilisé pour calculer le risque génétique

2 . 1 - On construit 4 niveaux de probabilités

Probabilités a priori

Soit deux hypothèses mutuellement exclusives A et Ã (non A). Un individu est soit A, soit Ã.
Les probabilités de chacune de ces hypothèses, sont les probabilités a priori.

Probabilité conditionnelle

Soir un évènement B dont la probabilité est dépendante de chacune des hypothèse : Probabilité de B si A ou probabilité de B si Ã.

Probabilité conjointe de chaque hypothèse :

Probabilité de A et B (PA X B si A) ou probabilité de Ã et B (P Ã X B si Ã)

Probabilité a posteriori de chacune des hypothèses de départ en tenant compte de l’évènement :

Probabilité de A si B ou de Ã si B. La probabilité a posteriori de chacune des hypothèses est égale à la probabilité conjointe de cette hypothèse divisée la somme des probabilités conjointes des deux hypothèses : P A si B = P B si A/ P B si A + P B si Ã

2 . 2 - Premier exemple : estimation du risque d’hétérozygotie pour une maladie lié à l’X

Figure 6 : Risque d'hétérozygotie

Madame X a trois frères atteints d’une dystrophie musculaire de Duchenne, maladie récessive liée au chromosome X. Les antécédents familiaux démontrent que sa mère est obligatoirement hétérozygote (conductrice). Madame A a donc une probabilité a priori de 50% (1/2) de porter elle-même la mutation a l’état hétérozygote.

Madame X a deux garçons sains. Ceci modifie-t-il son risque ?

On peut considérer que le fait d’avoir deux garçons sains est une « observation » ou un « évènement » qui peut modifier la détermination du risque.

Figure 7 : Risque d'hétérozygotie

Tableau

Hypothèse	Conductrice	Non conductrice
Probabilité à priori	1/2	1/2
Probabilité conditionnelle (avoir 2 garçons sains)	1/2 X1/2 = 1/4	1
Probabilité jointe	1/8	1/2
Probabilité à postériori	(1/8) / (1/8 + 1/2) = 1/5	(1/2) / (1/2 +1/8) = 4/5

Probabilités a priori :

D'être conductrice : 1/2 (PA)
De ne pas être conductrice : 1/2 (P Ã)

Probabilités conditionnelles :

Probabilité d'avoir deux enfants sains si elle est conductrice : 1/2 X 1/2 = 1/4 (P Bsi A)
Probabilité d'avoir deux enfants sains si elle n'est pas conductrice : 1(P B si Ã)

Probabilité conjointe :

Probabilité d'être conductrice ET d'avoir deux enfants sains : (probabilité d'appartenir à l'espace Y) = PA X P B si A = 1/2 X 1/4 = 1/8

Probabilité a posteriori :
Y 1/8
Probabilité d'être conductrice si elle a deux enfants sains : --------- = ------------- = 1/5
Y + Z 1/8 + 1/2

2 . 3 - Deuxième exemple : Analyse bayesienne utilisant les résultats des analyses moléculaires

Soit une maladie récessive qui atteint un enfant sur 10 000. La probabilité d’être hétérozygote dans la population générale est donc de 1/50. Il existe une hétérogénéïté génétique allélique. On utilise une méthode qui permet d’identifier 90% des mutations.
Quelle est la probabilité pour un homme issu de la population générale d’être hétérozygote alors que la recherche de mutations est négative chez lui ?

Figure 8 : Analyse bayesienne

Probabilités a priori :

D’être hétérozygote : 1/2 (PA) : 1/50 De ne pas être hétérozygote : 1/2 (P Ã) : 49/50

Probabilités conditionnelles :

Probabilité qu’aucune mutation ne soit identifiée s’il est hétérozygote : (P Bsi A) ; 1/10
Probabilité qu’aucune mutation ne soit identifiée s’il n’est pas hétérozygote : 1 (P B si Ã) : 1

Probabilité conjointe :

Probabilité d’être hétérozygote ET de n’avoir aucune mutation identifiée : (probabilité d’appartenir à l’espace Y) = PA X P B si A = 1/50 X 1/10 = 1/500
Probabilité de ne pas être hétérozygote ET de n’avoir aucune mutation identifiée : (probabilité d’appartenir à l’espace Z) = P Ã X P B si Ã = 49/50 X 1 =

Probabilité a posteriori :
Y 1/500
Probabilité d’être conductrice si elle a deux enfants sains : ------- = ------------------- = 1/491
Y + Z 1/500 + 49/50

2/2